Polinom Lag Modellari: Nazariya va Parametrlash

TL;DR

Polinom Lag (PL) modelleri, ekonometrik zaman serisi analizinde gecikmeli değişkenlerin etkisini esnek bir şekilde modellemek için kullanılır. Bu modeller, katsayılar üzerine kısıtlamalar uygulayarak parametre sayısını azaltır ve çoklu doğrusallık sorununu hafifletir. PL modelleri, özellikle bir şokun zaman içindeki etkisini incelemek için oldukça faydalıdır.

1. The Mental Model

Bir olayın (örneğin, para arzındaki bir değişiklik) etkisinin hemen sona ermeyip, zamanla kademeli olarak azalarak devam ettiğini düşünün. Polinom Lag modelleri, bu gecikmeli etkilerin gücünü, basit bir matematiksel eğri (polinom) ile yakalayarak, karmaşık modelleri basitleştirir.

2. The Core Material

Polinom Lag (PL) modelleri, bir bağımlı değişkenin ($Y_t$) bağımsız bir değişkenin ($X_t$) mevcut ve geçmiş değerlerinden nasıl etkilendiğini modellemek için kullanılır. Standart bir gecikmeli modelde her gecikme için ayrı bir katsayı tahmin etmemiz gerekirken, PL modelleri bu katsayıların belirli bir polinom fonksiyonu üzerinde yer aldığını varsayar. Bu varsayım, tahmin edilecek parametre sayısını önemli ölçüde azaltır ve çoklu doğrusallık (multicollinearity) sorununu hafifletir.

Genel bir sonlu gecikmeli model şu şekildedir:

$Y_t = \alpha + \beta_0 X_t + \beta_1 X_{t-1} + \dots + \beta_k X_{t-k} + \epsilon_t$

Burada $\beta_i$ katsayıları, $X_{t-i}$'nin $Y_t$ üzerindeki etkisini gösterir. Polinom Lag yaklaşımında, bu $\beta_i$ katsayılarının $i$'nin bir polinom fonksiyonu olduğu varsayılır:

$\beta_i = a_0 + a_1 i + a_2 i^2 + \dots + a_m i^m$

Burada $m$ polinomun derecesidir ve $m < k$ olmalıdır. Genellikle $m = 2$ veya $m = 3$ tercih edilir. Bu kısıtlama sayesinde, $k+1$ tane $\beta$ katsayısı yerine sadece $m+1$ tane $a$ katsayısı tahmin ederiz. Bu, serbestlik derecesini artırır ve daha verimli tahminler elde edilmesini sağlar.

Almon Lag Modeli (Kısıtlı Polinom Lag):
Almon Lag modeli, polinom lag yaklaşımının en yaygın kullanılan biçimlerinden biridir. Bu modelde, gecikme ağırlıklarının başlangıç ve/veya bitiş noktalarında sıfır olduğunu varsayan ek kısıtlamalar da uygulanabilir. Örneğin, bir "uç nokta kısıtlaması" ($\beta_{-1}=0$ ve $\beta_{k+1}=0$) uygulanabilir. Bu, polinomu daha gerçekçi bir şekilde sınırlar.

Polinom Lag Modeli Oluşturma Adımları

Photo by Sergey Meshkov on Pexels

1. Maksimum Gecikme Uzunluğunu ($k$) Belirleme: Bu, ekonomik teoriye, veri sıklığına ve bilgi kriterlerine (AIC, BIC) dayanarak yapılır.
2. Polinom Derecesini ($m$) Seçme: Genellikle 2 veya 3 dereceli polinomlar kullanılır. Daha yüksek dereceler aşırı uyuma (overfitting) yol açabilir.
3. Kısıtlamaları Uygulama: Uç nokta kısıtlamalarının (örneğin, $\beta_{-1}=0$ ve $\beta_{k+1}=0$) uygulanıp uygulanmayacağına karar verilir. Bu, polinomun başlangıç ve bitiş noktalarında etkisiz olduğunu varsayar.
4. Dönüştürülmüş Değişkenleri Oluşturma: Polinom katsayılarını kullanarak orijinal $X$ değişkenlerini yeni, dönüştürülmüş $Z$ değişkenlerine çeviririz. Bu, esasen orijinal $X$ değişkenlerinin doğrusal bir kombinasyonudur.
5. OLS ile Tahmin: Dönüştürülmüş $Z$ değişkenleri kullanılarak OLS (En Küçük Kareler) regresyonu çalıştırılır.

Modelin Avantajları

Photo by Tima Miroshnichenko on Pexels

• Parametre Azaltma: Çok sayıda gecikme olduğunda bile az sayıda parametre tahmini.
• Çoklu Doğrusallık Azaltma: Gecikmeli değişkenler genellikle yüksek korelasyona sahiptir; polinom kısıtlaması bu sorunu azaltır.
• Esneklik: Gecikme yapısını esnek bir şekilde modellemeye izin verir.

Modelin Dezavantajları

Photo by cottonbro studio on Pexels

• Kısıtlama Varsayımı: Gecikme katsayılarının bir polinom üzerinde yer aldığı varsayımı doğru olmayabilir.
• Gecikme Uzunluğu ve Derece Seçimi: Optimal $k$ ve $m$ değerlerini belirlemek zor olabilir.

graph TD
    A["Başlangıç: Gecikmeli Etkiyi Model Düşün"] --> B{Maksimum Gecikme k ($k$) Belirle};
    B --> C{Polinom Derecesini ($m$) Seç};
    C --> D{Uç Nokta Kısıtlamalarını Uygula (İsteğe Bağlı)};
    D --> E["Dönüştürülmüş Z Değişkenlerini Oluştur"];
    E --> F["OLS ile Regresyonu Tahmin Et"];
    F --> G["Katsayıları Yorumla ve Etkiyi Analiz Et"];
    G --> H["Bitir: Model Performansını Değerlendir"];

3. Worked Example

Bir şirketin reklam harcamalarının satışlar üzerindeki etkisini incelemek istediğinizi varsayalım. Reklamın etkisinin hemen değil, birkaç ay içinde yavaşça ortaya çıktığını ve sonra azaldığını biliyoruz.

$Y_t$: Satışlar
$X_t$: Reklam Harcamaları

Maksimum gecikme süresini $k=6$ ay ve polinom derecesini $m=2$ (yani parabolik bir etki) olarak belirleyelim. Uç nokta kısıtlamalarını uygulayalım: $\beta_{-1} = 0$ ve $\beta_{k+1} = \beta_7 = 0$.

Gecikme katsayıları $\beta_i = a_0 + a_1 i + a_2 i^2$ şeklinde olacaktır.
Uç nokta kısıtlamaları bu durumda aşağıdaki denklemlere yol açar:

$i=-1$: $\beta_{-1} = a_0 - a_1 + a_2 = 0$
$i=7$: $\beta_7 = a_0 + 7a_1 + 49a_2 = 0$

Bu iki denklemi çözerek $a_0$ ve $a_1$'i $a_2$ cinsinden ifade edebiliriz:
$a_0 = a_1 - a_2$
$(a_1 - a_2) + 7a_1 + 49a_2 = 0 \Rightarrow 8a_1 + 48a_2 = 0 \Rightarrow a_1 = -6a_2$
$a_0 = -6a_2 - a_2 = -7a_2$

Şimdi $\beta_i$ katsayılarını sadece $a_2$ cinsinden yazabiliriz:
$\beta_i = -7a_2 - 6a_2 i + a_2 i^2 = a_2(-7 - 6i + i^2)$

Bu durumda orijinal denklemimiz şöyle olur:
$Y_t = \alpha + \sum_{i=0}^6 \beta_i X_{t-i} + \epsilon_t$
$Y_t = \alpha + a_2 \sum_{i=0}^6 (-7 - 6i + i^2) X_{t-i} + \epsilon_t$

Burada yeni değişken $Z_t = \sum_{i=0}^6 (-7 - 6i + i^2) X_{t-i}$ olur.
Regresyonu şu şekilde tahmin ederiz:
$Y_t = \alpha + a_2 Z_t + \epsilon_t$

Bu şekilde, $k=6$ için 7 adet $\beta$ katsayısı tahmin etmek yerine, sadece bir $a_2$ katsayısı tahmin ederek (ve $\alpha$ tabii ki) reklamın gecikmeli etkisini modellemiş oluruz. Tahmin edilen $a_2$ değerini kullanarak, her bir $\beta_i$ katsayısını hesaplayabiliriz:

$\beta_0 = a_2(-7 - 6(0) + 0^2) = -7a_2$
$\beta_1 = a_2(-7 - 6(1) + 1^2) = -12a_2$
...
$\beta_6 = a_2(-7 - 6(6) + 6^2) = a_2(-7 - 36 + 36) = -7a_2$

Bu katsayılar, reklamın farklı gecikmelerdeki etkisini gösterir ve bu etki, $m=2$ dereceli bir polinomun şeklini takip eder.

4. Key Takeaways

• Polinom Lag modelleri, gecikmeli değişkenlerin katsayılarını bir polinom fonksiyonu olarak kısıtlar.
• Bu kısıtlama, tahmin edilecek parametre sayısını azaltarak çoklu doğrusallık sorununu hafifletir.
• Almon Lag modeli, genellikle uç nokta kısıtlamaları içeren popüler bir polinom lag modelidir.
• Maksimum gecikme uzunluğu ($k$) ve polinom derecesi ($m$), model seçiminde önemli kararlardır.
• Polinom Lag modelleri, özellikle bir şokun zaman içindeki dinamik etkisini incelemek için faydalıdır.

Kaçınılması Gereken Yaygın Hatalar:
- Maksimum gecikme uzunluğunu ($k$) çok kısa veya çok uzun seçmek, önemli etkileri kaçırmanıza veya gereksiz karmaşıklık eklemenize neden olabilir.
- Polinom derecesini ($m$) çok yüksek seçmek, modele gereksiz esneklik katarak aşırı uyuma (overfitting) yol açabilir.
- Polinom kısıtlamasının ekonomik mantıkla çelişip çelişmediğini kontrol etmemek. Her zaman varsayımlarınızı gözden geçirin.
- Uç nokta kısıtlamalarını düşünmeden uygulamak veya reddetmek; bu kısıtlamaların modelinizin doğasına uygun olup olmadığını değerlendirin.

5. Now Try It

Ekonomi teorisinden (örneğin, para politikası şoklarının enflasyon üzerindeki etkisi) bildiğiniz bir başka gecikmeli etki örneği düşünün. Bu etkiyi modellemek için bir Polinom Lag modeli kurmak istediğinizde hangi adımları izlersiniz? Maksimum gecikme uzunluğunu ($k$) ve polinom derecesini ($m$) nasıl seçerdiniz? Varsayımsal olarak $k=8$ ve $m=3$ olduğunu ve sadece bir başlangıç noktası kısıtlaması ($\beta_{-1}=0$) uyguladığınızı varsayarak, $\beta_i$ katsayılarını kaç temel $a$ katsayısı cinsinden ifade etmeniz gerekir? Başarılı bir çözüm, bu $a$ katsayılarını ve regresyon denkleminin nasıl görüneceğini açıkça belirtecektir.