Მატრიცა Და Მოქმედებები Მასზე — Შესავალი Მატრიცებში + 4 more topics

მატრიცა არის რიცხვების (ან ზოგადად, მათემატიკური გამოსახულებების) მართკუთხა მასივი. ის განთავსებულია ფრჩხილებში ან კვადრატულ ფრჩხილებში. მატრიცის ცალკეულ რიცხვებს მის ელემენტებს ვუწოდებთ.

მატრიცის ზომა განისაზღვრება მისი რიგების (ჰორიზონტალური ხაზები) და სვეტების (ვერტიკალური ხაზები) რაოდენობით. თუ მატრიცას აქვს $m$ რიგი და $n$ სვეტი, ვამბობთ, რომ მისი ზომაა $m \times n$ (წაიკითხეთ: "$m$-ზე $n$-ზე").

მატრიცებზე მოქმედებები საშუალებას გვაძლევს მათემატიკურად ვიმუშაოთ ცხრილის მონაცემებთან. აქ მოცემულია ძირითადი ოპერაციები, რომლებიც უნდა იცოდეთ.

მაგალითად:
თუ $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ და $B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

$A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

$A - B = \begin{pmatrix} 1-5 & 2-6 \\ 3-7 & 4-8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & -4 \\ -4 & -4 \end{pmatrix}$

მატრიცების გამრავლება არის ერთ-ერთი ყველაზე ფუნდამენტური ოპერაცია წრფივ ალგებრაში. ის განსხვავდება რიცხვების გამრავლებისგან და ელემენტ-ელემენტზე გამრავლებისგან (რომელიც ასევე არსებობს და ჰქვია Hadamard product).

პირველი და ყველაზე მნიშვნელოვანი წესი ის არის, რომ ყველა მატრიცის გამრავლება არ არის შესაძლებელი. თუ გაქვს მატრიცა A ზომებით $m \times n$ (m მწკრივი, n სვეტი) და მატრიცა B ზომებით $p \times q$ (p მწკრივი, q სვეტი), მაშინ ნამრავლი AB შესაძლებელია მხოლოდ იმ შემთხვევაში, თუ A-ს სვეტების რაოდენობა (n) ტოლია B-ს მწკრივების რაოდენობის (p).

შებრუნებული მატრიცა, აღნიშნული როგორც $A^{-1}$, არის მატრიცა, რომელიც მატრიცა $A$-ზე გამრავლებისას იძლევა ერთეულოვან მატრიცას ($I$). ეს მხოლოდ კვადრატული მატრიცებისთვისაა შესაძლებელი (ანუ, რიგების და სვეტების ერთნაირი რაოდენობით). თუ $A \cdot A^{-1} = I$ და $A^{-1} \cdot A = I$, მაშინ $A^{-1}$ არის $A$-ს შებრუნებული მატრიცა.

ყველა კვადრატულ მატრიცას არ აქვს შებრუნებული. თუ მატრიცის დეტერმინანტი ნულის ტოლია, მაშინ მას არ აქვს შებრუნებული და მას დეგენერირებულ ან სინგულარულ მატრიცას ვუწოდებთ.